微积分知识体系

极限 → 微分 → 积分 → 级数。所有概念由极限定义、由函数承载；以导数刻画变化率，以积分刻画累积量，以级数刻画无穷过程。

§0学科总览与主线

知识主线

\[ \text{极限}\;\rightarrow\;\text{连续}\;\rightarrow\;\text{导数与微分}\;\rightarrow\;\text{中值定理 / 泰勒公式}\;\rightarrow\;\text{应用} $$
$$ \downarrow $$
$$ \text{不定积分}\;\rightarrow\;\text{定积分}\;\rightarrow\;\text{牛顿–莱布尼茨公式}\;\rightarrow\;\text{重积分 / 曲线曲面积分} $$
$$ \downarrow $$
$$ \text{无穷级数}\qquad\text{与}\qquad\text{微分方程} $$

微分 — 局部线性化

在一点附近用直线代替曲线，回答“变化有多快”。核心：$f'(x)$。

积分 — 无穷求和

把整体切成无穷多个小份再相加，回答“总量是多少”。核心：$\int$ 与微元法。

级数 — 无穷过程

把函数表示为幂级数或三角级数，把有限运算推广到无限。核心：收敛性。

符号约定

记号含义记号含义
$f(x_0\pm 0)$右 / 左极限$f'_+(x_0)$右导数
$\Delta x$自变量增量$dy,\;df$因变量微分
$o(\alpha)$比 $\alpha$ 高阶的无穷小$O(\alpha)$与 $\alpha$ 同阶或低阶（有界）
$f\in C[a,b]$在 $[a,b]$ 上连续$f\in R[a,b]$在 $[a,b]$ 上可积
$\iint,\ \iiint$二重、三重积分$\oint,\ \oiint$闭曲线、闭曲面上的积分

§1函数、极限与连续

1.1 极限的严格定义

数列极限（ε–N）

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\ \iff\ \forall \varepsilon>0$，总存在正整数 $N(\varepsilon)$，当 $n>N$ 时恒有 $|a_n-A|<\varepsilon$。

解读：尾部 $n>N$ 之后的全部项进入以 $A$ 为中心、$\varepsilon$ 为半径的邻域；$N$ 随 $\varepsilon$ 变小而变大。

函数极限（ε–δ）与左右极限

$$ \lim_{x\to x_0} f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\quad 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon $$

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \iff f(x_0-0)=f(x_0+0)=A$。极限存在与 $f$ 在 $x_0$ 是否有定义无关；$x\to\infty$ 情形用 $|x|>X$ 刻划。

1.2 极限的性质与运算法则

基本性质

  • 唯一性：若极限存在则唯一；
  • 局部有界性：$\lim f$ 存在 ⇒ $f$ 在 $x_0$ 某去心邻域有界；
  • 局部保号性：$A>0$ ⇒ 某去心邻域内 $f(x)>0$；
  • 保序性：极限可保持不等号（非严格）。

四则运算法则

若 $\lim f=A$、$\lim g=B$，则 $\lim(f\pm g)=A\pm B$、$\lim(fg)=AB$、$\lim(f/g)=A/B\;(B\neq0)$。

只有两个极限都存在时方可拆开；$\lim(fg)$ 存在不能推出各自存在（如 $x\sin\tfrac{1}{x}$）。

1.3 极限存在的两大判定准则

夹逼准则

若某去心邻域内 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且 $\lim g=\lim h=A$，则 $\lim f=A$。

典型应用：$\lim\limits_{x\to\infty}\tfrac{\sin x}{x}=0$；n 项和的放缩。

单调有界准则

单调递增有上界的数列必收敛；单调递减有下界者必收敛。用于证明 $a_n=(1+\tfrac1n)^n$ 收敛，其极限记为 $e$。

1.4 两个重要极限

$$ ①\quad \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad\qquad ②\quad \lim_{x\to\infty}\Big(1+\frac{1}{x}\Big)^{x}=e $$

推论：由①推 $\sin,\tan,\arcsin,\arctan$ 的等价替换；由②得指数型极限标准做法 $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$（$u\to1,\ v\to\infty$）。

1.5 无穷小量与等价无穷小

若 $\lim\alpha=0$ 则 $\alpha$ 为无穷小；$\lim\frac{\beta}{\alpha}=0$ 记为 $\beta=o(\alpha)$（高阶无穷小）；$\lim\frac{\beta}{\alpha}=c\neq0$ 称同阶；$c=1$ 时称等价，记 $\beta\sim\alpha$。

等价无穷小替换规则

在乘除因子中可整体替换；在加减项中不可随意替换，须先判断是否导致“抵消主部”——此时改用泰勒公式。

当 $x\to 0$ 时当 $x\to 0$ 时
$\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$$\arcsin x\sim x$，$\arctan x\sim x$
$\ln(1+x)\sim x$，$e^x-1\sim x$$a^x-1\sim x\ln a$
$1-\cos x\sim \tfrac{x^2}{2}$$(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x$
$x-\sin x\sim \tfrac{x^3}{6}$，$\arcsin x-x\sim \tfrac{x^3}{6}$$\tan x-x\sim \tfrac{x^3}{3}$，$x-\arctan x\sim \tfrac{x^3}{3}$
$x-\ln(1+x)\sim \tfrac{x^2}{2}$$\tan x-\sin x\sim \tfrac{x^3}{2}$

1.6 连续性

连续定义

$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \iff \lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}\big[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\big]=0 $$

三者同时成立：① $f(x_0)$ 有定义；② 极限存在；③ 极限等于函数值。开区间连续指逐点连续；$[a,b]$ 连续指开区间连续且 $f(a+0)=f(a)$、$f(b-0)=f(b)$。

间断点分类

类型条件示例
可去间断点左右极限存在且相等，但不等于 $f(x_0)$（或该点无定义）$y=\tfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$
跳跃间断点左右极限存在但不相等$y=[x]$（取整）在整数点
第二类（无穷 / 振荡）至少一侧极限不存在$y=\tfrac1x$（无穷）；$y=\sin\tfrac1x$（振荡）

闭区间连续函数的性质（三大定理）

  • 最值定理：$f\in C[a,b]$ ⇒ $f$ 在 $[a,b]$ 上取得最大值与最小值；
  • 介值定理：对介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间任意数 $\mu$，$\exists \xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=\mu$；
  • 零点定理（介值特例）：$f(a)\cdot f(b)<0$ ⇒ $\exists \xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=0$。

推论：连续函数把区间映为区间；一致连续（康托定理）：闭区间上的连续函数必一致连续。

求极限常用流程

① 先代值判断类型（0/0、∞/∞、0·∞ 等）→ ② 约分、有理化、通分、提取无穷大因子 → ③ 等价无穷小替换（仅乘除）→ ④ 两个重要极限 → ⑤ 夹逼 / 单调有界 / 定积分定义 / 泰勒展开 / 洛必达（§3）。

§2导数与微分

2.1 导数定义

导数 / 几何意义

$$ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$

几何意义：曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率，切线方程 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$；物理意义为瞬时速度 $v(t)=s'(t)$。

可导 ⇔ 左右导数存在且相等

$f'_+(x_0)$ 与 $f'_-(x_0)$ 存在且相等时 $f'(x_0)$ 存在。例：$f(x)=|x|$ 在 0 处左导数 −1、右导数 +1，不可导但连续。结论链：可导 ⇒ 连续，反之不成立（尖点、竖直切线、振荡型）。

2.2 求导法则

  • 四则：$(u\pm v)'=u'\pm v'$；$(uv)'=u'v+uv'$；$\Big(\tfrac{u}{v}\Big)'=\tfrac{u'v-uv'}{v^2}$；
  • 链式法则（复合函数求导）：$y=f(u),\;u=g(x)\;\Rightarrow\;\dfrac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)$，即“外层导数 × 内层导数”，由外向内逐层展开；
  • 反函数：$(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}\;(f'\neq0)$；
  • 隐函数：等式两端对 $x$ 求导，把 $y$ 视为 $x$ 的函数解出 $y'$；
  • 参数方程：$x=\varphi(t),\;y=\psi(t)\;\Rightarrow\;\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$，$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\big(\frac{dy}{dx}\big)}{\varphi'(t)}$；
  • 对数求导法：对幂指函数或含多因子乘除的函数，两边取 $\ln$ 再求导。

复合函数求导示例

例：$y=\sin(x^2)$，令 $u=x^2$，则 $y'=\cos u\cdot 2x=2x\cos(x^2)$；$y=e^{\sin x}$ 则 $y'=e^{\sin x}\cos x$；$y=\ln(\cos x)$ 则 $y'=-\tan x$。多层复合可逐层“剥洋葱”。

2.3 基本导数表（须背熟）

$f(x)$$f'(x)$
$x^{\mu}$$\mu x^{\mu-1}$
$\sin x$$\cos x$
$\cos x$$-\sin x$
$\tan x$$\sec^2 x$
$\cot x$$-\csc^2 x$
$\sec x$$\sec x\tan x$
$\csc x$$-\csc x\cot x$
$e^x$$e^x$
$a^x$$a^x\ln a$
$\ln x$$\tfrac1x$
$\log_a x$$\tfrac{1}{x\ln a}$
$\arcsin x$$\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f(x)$$f'(x)$
$\arccos x$$-\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$$\tfrac{1}{1+x^2}$
$\mathrm{arccot}\,x$$-\tfrac{1}{1+x^2}$
$\mathrm{arcsec}\,x$$\tfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$\sinh x$$\cosh x$
$\cosh x$$\sinh x$
$\tanh x$$\mathrm{sech}^2 x$
$\coth x$$-\mathrm{csch}^2 x$
$\mathrm{arsinh}\,x$$\tfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$\mathrm{arcosh}\,x$$\tfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\mathrm{artanh}\,x$$\tfrac{1}{1-x^2}$
$|x|$$\mathrm{sgn}\,x\;(x\neq0)$

2.4 高阶导数与莱布尼茨公式

$f^{(n)}(x)$ 为 $n$ 阶导数，$y^{(0)}=y$。

$$ (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^{k}\,u^{(k)}v^{(n-k)} $$
函数$n$ 阶导数
$(ax+b)^{m}$$m(m-1)\cdots(m-n+1)\,a^{n}(ax+b)^{m-n}$
$\tfrac{1}{ax+b}$$(-1)^n n!\,a^n/(ax+b)^{n+1}$
$\ln(1+x)$$(-1)^{n-1}(n-1)!/(1+x)^{n}\;(n\ge1)$
$\sin x$$\sin\big(x+\tfrac{n\pi}{2}\big)$
$\cos x$$\cos\big(x+\tfrac{n\pi}{2}\big)$
$e^{ax}$$a^n e^{ax}$
$\sin(ax+b)$$a^{n}\sin\big(ax+b+\tfrac{n\pi}{2}\big)$

2.5 微分

若 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$（$A$ 与 $\Delta x$ 无关），称 $f$ 在 $x_0$ 可微，微分 $dy=A\,dx=f'(x_0)\,dx$。

可微 ⇔ 可导；微分形式不变性

一元情形可微与可导等价，且 $dy=f'(u)\,du$ 对 $u$ 为自变量或中间变量均成立。近似公式：$\Delta y\approx dy=f'(x_0)\Delta x$，即 $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$（线性近似）。

学习提示

检验标准：10 分钟内默写完整导数表与求导法则；见到分段函数、$|x|$、$x\sin\tfrac1x$ 类函数能正确判断可导性与连续性。

§3微分中值定理 · 泰勒公式 · 导数应用

3.1 三大中值定理

定理条件结论几何意义
罗尔 Rolle① $C[a,b]$ ② $(a,b)$ 可导 ③ $f(a)=f(b)$$\exists\,\xi\in(a,b):\;f'(\xi)=0$两端同高的光滑弧段内必有水平切线
拉格朗日 Lagrange① $C[a,b]$ ② $(a,b)$ 可导$\exists\,\xi:\;f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$弧段内存在切线平行于两端连线
柯西 Cauchy$f,g\in C[a,b]$，$(a,b)$ 可导且 $g'\neq0$$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$参数曲线切线与弦平行（拉氏推广）

推论

① $f'\equiv0$ ⇒ $f$ 为常数；② $f'=g'$ ⇒ $f-g=C$；③ 导数符号恒正 ⇒ 函数严格递增（反之须函数连续方可断言）。

3.2 洛必达法则

0/0 与 ∞/∞ 型

设 $f,g$ 在 $x_0$ 去心邻域可导、$g'\neq0$，若 $\lim f=\lim g=0$（或均为 $\infty$），且 $\lim\tfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\infty$），则

$$ \lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)} $$

其它未定式转化：$0\cdot\infty\to\tfrac{1}{\infty}$ 或 $\tfrac{1}{0}$ 型；$\infty-\infty\to$ 通分；$0^0,\ 1^{\infty},\ \infty^0\to e^{\ln}$ 变形。洛必达可反复使用，但每次使用前必须重新检验类型；数列极限应先化为函数极限。

局限性

当 $f'/g'$ 的极限不存在且非无穷时，原极限仍可能存在（如 $\tfrac{x+\sin x}{x}$），此时应改用夹逼或泰勒。

3.3 泰勒公式（微分学的顶峰）

带拉格朗日余项的泰勒公式

$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$

余项 $R_n(x)$ 可作精确估计；若只关心局部近似（$x\to x_0$），用佩亚诺余项 $R_n=o\big((x-x_0)^{n}\big)$。

常用麦克劳林展开

函数展开（前几项）收敛区间
$e^x$$1+x+\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^3}{3!}+\cdots$$(-\infty,+\infty)$
$\sin x$$x-\tfrac{x^3}{3!}+\tfrac{x^5}{5!}-\cdots$$(-\infty,+\infty)$
$\cos x$$1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\cdots$$(-\infty,+\infty)$
$\ln(1+x)$$x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^4}{4}+\cdots$$(-1,1]$
$(1+x)^{\alpha}$$1+\alpha x+\tfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots$$|x|<1$（$\alpha$ 非正整数）
$\arctan x$$x-\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^5}{5}-\cdots$$[-1,1]$
$\arcsin x$$x+\tfrac{x^3}{6}+\tfrac{3x^5}{40}+\cdots$$[-1,1]$
$\tan x$$x+\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{2x^5}{15}+\cdots$$|x|<\tfrac{\pi}{2}$
$\tfrac{1}{1-x}$$1+x+x^2+x^3+\cdots$$(-1,1)$

用泰勒展开展示“高阶”处理

展开阶数由分母/分子的最低阶“瓶颈”决定。例：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}$，须把 $e^x$ 展开到含 $x^3$ 项：$e^x=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+o(x^3)$，结果 $=\tfrac16$。

3.4 单调性、极值与凹凸

对象判别方法
单调性$f'>0$ ⇒ 增；$f'<0$ ⇒ 减（区间上）
极值 · 第一判别$f'$ 在 $x_0$ 两侧由正变负 ⇒ 极大；由负变正 ⇒ 极小；不变号则非极值
极值 · 第二判别$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$ ⇒ 极小；$f''(x_0)<0$ ⇒ 极大；$f''(x_0)=0$ 失效改用第一判别
凹凸性$f''>0$ ⇒ 凹（下凸）；$f''<0$ ⇒ 凸（上凸）
拐点$f''(x_0)=0$ 或不存在，且 $f''$ 在 $x_0$ 两侧变号

驻点 ≠ 极值点 ≠ 最值点

极值点只可能是驻点或不可导点；闭区间最值还需与端点比较。例：$f(x)=x^3$ 在 0 处有驻点但无极值。

3.5 渐近线与曲率

  • 垂直渐近线：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\;\Rightarrow\;x=x_0$；
  • 水平渐近线：$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b\;\Rightarrow\;y=b$；
  • 斜渐近线：$y=kx+b$，$k=\lim\tfrac{f(x)}{x}$，$b=\lim\big(f(x)-kx\big)$（$x\to+\infty$ 与 $-\infty$ 分别求）。
$$ \kappa=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}},\qquad \rho=\frac1\kappa,\qquad \kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}\ (\text{参数式}) $$

函数作图流程：定义域与对称性 → 求 $f'$、$f''$ 找驻点/不可导点/拐点候选 → 列表判别单调与凹凸 → 渐近线 → 描点连线。

§4不定积分

4.1 概念

若 $F'(x)=f(x)$，则 $F$ 为 $f$ 的一个原函数；全体原函数记

$$ \int f(x)\,dx=F(x)+C\qquad(C\ \text{为任意常数}) $$

任意两个原函数只差一个常数。第一类换元（凑微分）：$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\int f(u)du$，令 $u=\varphi(x)$。第二类换元：$\int f(x)dx=\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt$，要求 $\psi$ 单调（保证可反代回）。

须掌握的三角代换

被积含代换回代依据
$\sqrt{a^2-x^2}$$x=a\sin t$$\cos t=\tfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$
$\sqrt{a^2+x^2}$$x=a\tan t$$\sec t=\tfrac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}$
$\sqrt{x^2-a^2}$$x=a\sec t$$\tan t=\tfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$
$\sqrt{\tfrac{a-x}{a+x}}$$x=a\cos 2t$ 或直接有理化—

4.2 基本积分公式表（须背熟）

积分结果
$\int x^{\mu}dx$$\tfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\;(\mu\neq-1)$
$\int \tfrac1x dx$$\ln|x|+C$
$\int e^x dx$$e^x+C$
$\int a^x dx$$\tfrac{a^x}{\ln a}+C$
$\int \sin x\,dx$$-\cos x+C$
$\int \cos x\,dx$$\sin x+C$
$\int \sec^2x\,dx$$\tan x+C$
$\int \csc^2x\,dx$$-\cot x+C$
$\int \sec x\tan x\,dx$$\sec x+C$
$\int \csc x\cot x\,dx$$-\csc x+C$
$\int \tan x\,dx$$-\ln|\cos x|+C$
$\int \cot x\,dx$$\ln|\sin x|+C$
积分结果
$\int \sec x\,dx$$\ln|\sec x+\tan x|+C$
$\int \csc x\,dx$$\ln|\tan\tfrac{x}{2}|+C$
$\int\tfrac{dx}{1+x^2}$$\arctan x+C$
$\int\tfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$\arcsin x+C$
$\int\tfrac{dx}{a^2+x^2}$$\tfrac1a\arctan\tfrac{x}{a}+C$
$\int\tfrac{dx}{x^2-a^2}$$\tfrac{1}{2a}\ln\big|\tfrac{x-a}{x+a}\big|+C$
$\int\tfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$$\arcsin\tfrac{x}{a}+C$
$\int\tfrac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$$\ln\big|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\big|+C$
$\int \sinh x\,dx$$\cosh x+C$
$\int \cosh x\,dx$$\sinh x+C$
$\int\tfrac{dx}{\cosh^2x}$$\tanh x+C$

4.3 分部积分法

$$ \int u\,dv=uv-\int v\,du\qquad\Big(\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx\Big) $$

选取 $u$ 的优先顺序（反对幂指三）：

反三角函数对数函数幂函数指数函数三角函数

常见类型：幂×指（$\int xe^xdx$）、幂×三角（$\int x\sin x\,dx$）、幂×对数（$\int x\ln x\,dx$，把幂凑入 $d$ 中）、反三角×幂；以及“回归型”如 $\int e^x\sin x\,dx$（两次分部后移项解出）。

4.4 有理函数与三角有理式

  • 有理函数 $P(x)/Q(x)$：先化为真分式，再将 $Q$ 分解因式按“部分分式”展开——线性因式 $\to \tfrac{A}{x-a}$；重因式 $\to \tfrac{A}{(x-a)^k}$ 逐项；不可约二次式 $\to \tfrac{Ax+B}{x^2+px+q}$；
  • 万能代换：对 $R(\sin x,\cos x)$，令 $t=\tan\tfrac{x}{2}$，则
$$ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} $$

若关于 $\sin x$ 为奇可令 $t=\cos x$；关于 $\cos x$ 为奇令 $t=\sin x$；关于二者均为偶令 $t=\tan x$。特殊代换优先于万能代换。

经验法则

换元后必须换回变量；验算技巧：对结果求导应还原被积函数（可快速发现符号错误）。

§5定积分 · 微积分基本定理 · 反常积分

5.1 定积分定义（黎曼和）

定义

将 $[a,b]$ 分割为 $n$ 个小区间，任取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，若和式极限存在且与分割、取点无关，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积：

$$ \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x_i $$

几何意义：曲边梯形面积的代数和（$x$ 轴下方取负）。规定 $\int_a^b=-\int_b^a$，$\int_a^a=0$。

可积的充分条件：连续 ⇒ 可积；只有有限个第一类间断点（分段连续）⇒ 可积；单调函数 ⇒ 可积。

5.2 定积分性质

  • 线性：$\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$；
  • 区间可加：$\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$；
  • 保号：$f\ge0\Rightarrow\int f\ge0$；$f\ge g\Rightarrow\int f\ge\int g$；
  • 估值：$m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$；
  • 绝对值：$\big|\int_a^b f\big|\le\int_a^b|f|\;(a
  • 积分中值定理：$f$ 连续时 $\exists\xi\in[a,b]$ 使 $\int_a^b f=f(\xi)(b-a)$。

5.3 微积分基本定理

变上限积分函数与原函数存在定理

$$ \Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt \quad\Rightarrow\quad \Phi'(x)=f(x) $$

“积分上限函数的导数 = 被积函数在上限处的值”，说明连续函数必有原函数。复合情形：$\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)}f(t)dt=f\big(u(x)\big)u'(x)$。

牛顿–莱布尼茨公式

$$ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\qquad(F\ \text{为任一原函数}) $$

把“求黎曼和极限”转化为“求原函数并代值”，是微分与积分互逆关系的最终表达。

5.4 定积分的换元与分部

$$ \int_a^b f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(u)du\qquad;\qquad \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du $$

换元须同步换限（不必回代）；分部中 $uv$ 代入上下限计算。

对称性与常用结论

  • $f$ 为奇函数且区间对称：$\int_{-a}^{a}f=0$；$f$ 为偶函数：$\int_{-a}^{a}f=2\int_0^{a}f$；
  • 周期函数：$\int_a^{a+T}f=\int_0^T f$（任意起点）；
  • 华里士公式：
$$ \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx=\frac{(n-1)!!}{n!!}\times \begin{cases}\tfrac{\pi}{2},& n\ \text{为偶数}\\ 1,& n\ \text{为奇数}\end{cases} $$

5.5 反常积分

两类反常积分

无穷限：$\int_a^{+\infty}f=\lim\limits_{b\to\infty}\int_a^{b}f$（极限存在则收敛）。瑕积分：$f$ 在 $a$（或 $b$）附近无界时 $\int_a^{b}f=\lim\limits_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f$。两类共存时拆区间分别讨论。

重要参照（p 判别）

无穷限

$$ \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\ \text{收敛}\iff p>1 $$

$\int_2^{\infty}\tfrac{dx}{x(\ln x)^p}$ 收敛 ⇔ $p>1$；$\int_0^{+\infty}e^{-ax}dx=\tfrac1a\;(a>0)$。

无界瑕点（$x\to a^+$ 型）

$$ \int_a^{b}\frac{dx}{(x-a)^p}\ \text{收敛}\iff p<1 $$

在 $b$ 处无界时同理要求 $p<1$。

收敛性比较判别（极限形式）

若 $f\ge0$ 且 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\cdot x^{p}=c$（$0\le c<+\infty$）：$p>1$ 且 $c<+\infty$ 时收敛；$p\le1$ 且 $c>0$ 时发散。瑕点 $x=a$ 处考察 $\lim (x-a)^p f(x)$。

绝对收敛与条件收敛

$\int|f|$ 收敛 ⇒ $\int f$ 收敛（绝对收敛）；$\int f$ 收敛而 $\int|f|$ 发散称条件收敛（如 $\int_1^{\infty}\tfrac{\sin x}{x}dx$）。

§6定积分的应用

核心方法是微元法：把总量 $Q$ 表示为 $dQ=f(x)dx$，再积分 $Q=\int_a^b f(x)dx$。写微元必须保证误差是 $dx$ 的高阶无穷小。

6.1 几何应用

对象公式（曲线 $y=f(x)$，$a\le x\le b$）
平面图形面积$A=\int_a^b |f(x)-g(x)|dx$；极坐标 $A=\tfrac12\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta$；参数式 $A=\int y(t)x'(t)dt$
旋转体体积 · 绕 $x$ 轴$V=\pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$（圆盘法）
旋转体体积 · 绕 $y$ 轴$V=2\pi\int_a^b x\,f(x)dx$（壳层法，$f\ge0$）
曲线弧长$s=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$（参数式）
旋转曲面面积（绕 $x$ 轴）$S=2\pi\int_a^b |f(x)|\sqrt{1+y'^2}\,dx$
平行截面面积 $A(x)$ 的立体$V=\int_a^b A(x)dx$

6.2 物理与其它应用

  • 变力做功：$W=\int_a^b F(x)dx$（抽水做功、弹簧 $F=kx$）；
  • 液体压力：$P=\rho g\int x\,L(x)dx$（$x$ 为水深，$L(x)$ 为宽度）；
  • 平均值：$\bar f=\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$；
  • 质心 / 形心：$\bar x=\tfrac{\int x\,dm}{\int dm}$，薄片 $\bar x=\tfrac{\iint x\rho\,dA}{\iint \rho\,dA}$；
  • 积分中值定理应用：由中值定理估算平均值的范围。

§7多元函数微分学

7.1 偏导数与高阶偏导

$$ f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\qquad(\text{对 }y\text{ 同理}) $$

求偏导即“把其它变量视为常数后一元求导”。二阶偏导四个：$f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}$。

混合偏导与次序无关（克莱罗定理）

若 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续，则 $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$。求高阶混合偏导时先对“结构简单”的变量求导可减少计算量。

7.2 全微分与可微

若 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$（$\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$），称 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，且

$$ dz=f_x(x_0,y_0)\,dx+f_y(x_0,y_0)\,dy $$

偏导存在 ≠ 连续 ≠ 可微

一元：可导⇔可微；多元：偏导连续 ⇒ 可微 ⇒（偏导存在 + 连续），反向均不成立。可微性判定：先查偏导是否存在，再验证 $\lim\limits_{\rho\to0}\tfrac{\Delta z-dz}{\rho}=0$。

7.3 复合函数与隐函数

  • 链式法则（$z=f(u,v)$，$u=u(x,y),v=v(x,y)$）：$z_x=f_u u_x+f_v v_x$，$z_y$ 同理。画“树形图”逐路径求和防漏项；
  • 隐函数 $F(x,y)=0$：$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y}$；$F(x,y,z)=0$：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z}$；
  • 方程组确定的隐函数：用微分法（对 $F,G$ 全微分后解线性方程组）较简便。

7.4 方向导数、梯度与几何应用

$$ D_{\mathbf u}f=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma=\nabla f\cdot\mathbf u\qquad(\mathbf u\ \text{为单位方向}) $$

梯度 $\nabla f=(f_x,f_y,f_z)$ 指向函数增长最快方向，模为方向导数最大值；$\nabla f$ 垂直于等值面。

  • 曲面 $F(x,y,z)=0$ 在 $P_0$ 的切平面：$F_x\big|_0(x-x_0)+F_y\big|_0(y-y_0)+F_z\big|_0(z-z_0)=0$，法线方向 $(F_x,F_y,F_z)$；
  • 空间曲线 $\mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 的切线方向 $\mathbf r'(t)$，法平面 $x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$。

7.5 极值与条件极值

极值必要条件：可微时驻点 $f_x=f_y=0$。

二元极值充分条件

设驻点处 $A=f_{xx},\ B=f_{xy},\ C=f_{yy}$，记 $\Delta=B^2-AC$：

  • $\Delta<0$ 且 $A>0$ ⇒ 极小值；$\Delta<0$ 且 $A<0$ ⇒ 极大值；
  • $\Delta>0$ ⇒ 非极值（鞍点）；$\Delta=0$ 失效，用定义判定。

拉格朗日乘数法（条件极值）

求 $f(x,y,z)$ 在约束 $g(x,y,z)=0$ 下的极值：构造 $L=f+\lambda g$，解

$$ L_x=L_y=L_z=L_\lambda=0 $$

多个约束引入多个 $\lambda$；求出候选点后用实际意义或比较确定最值。

§8重积分

8.1 二重积分

$$ \iint_D f(x,y)\,d\sigma=\lim_{\lambda\to0}\sum f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i\qquad(d\sigma=dx\,dy) $$

直角坐标（X 型，先 $y$ 后 $x$）：

$$ \iint_D f\,dx\,dy=\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy $$

Y 型先 $x$ 后 $y$ 同理。选择积分次序原则：内层可积且边界简单；必要时交换积分次序（先画区域草图）。

极坐标变换

$$ \iint_D f\,dx\,dy=\iint_{D'} f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta $$

被积函数含 $x^2+y^2$、区域为圆/环/扇形时优先用极坐标；因子 $r$ 是雅可比 $\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}$ 的绝对值，切勿遗漏。

8.2 三重积分

坐标系坐标关系体积元 $dV$适用
直角坐标$(x,y,z)$$dx\,dy\,dz$区域规整
柱坐标$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z$$r\,dr\,d\theta\,dz$绕 $z$ 轴旋转对称（锥、柱、抛物面）
球坐标$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\ z=\rho\cos\varphi$$\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$球 / 球与锥的组合

8.3 应用与对称性

  • 体积 $V=\iiint dV$；曲顶柱体 $V=\iint_D [f_2-f_1]dx\,dy$；
  • 质量 $m=\iiint \rho(x,y,z)dV$；质心 $\bar x=\tfrac1m\iiint x\rho\,dV$；
  • 转动惯量 $I_z=\iiint (x^2+y^2)\rho\,dV$；
  • 对称性：区域关于 $y$ 轴对称时，被积函数关于 $x$ 为奇则积分为 0、为偶则取半区乘 2；球域上 $x^2,y^2,z^2$ 三积分相等各占 $\tfrac13\iiint(x^2+y^2+z^2)$ 等技巧可大幅化简。

§9曲线积分与曲面积分

9.1 曲线积分

类型记号计算方法（化为定积分）物理意义
第一类（对弧长）$\int_L f(x,y)ds$$L:x=x(t),y=y(t)\;(a\le t\le b)\ \Rightarrow\ \int f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$曲线质量、线密度积分
第二类（对坐标）$\int_L P\,dx+Q\,dy$$\int \big[P x'(t)+Q y'(t)\big]dt$（带方向）变力沿路径做功

重要区别

第一类与路径方向无关（$ds\ge0$）；第二类反向积分变号。第二类还可表为向量形式 $\int_L \mathbf F\cdot d\mathbf r$。

格林公式（平面闭路 ↔ 二重积分）

$$ \oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dx\,dy $$

$L$ 取 $D$ 的边界正向（人沿边界走，区域在左侧）；$P,Q$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导。格林公式用于：简化闭路积分、求面积 $A=\tfrac12\oint_L x\,dy-y\,dx$、处理“洞”（挖去奇点）。

曲线积分与路径无关 ⇔ 全微分求原函数

单连通区域且 $P,Q$ 有连续偏导时等价：① 积分与路径无关；② 沿任意闭路积分为 0；③ $P_y=Q_x$ 恒成立；④ 存在 $u$ 使 $du=P\,dx+Q\,dy$。此时用折线路径或分部求原函数。

9.2 曲面积分（概要）

类型记号化为二重积分
第一类（对面积）$\iint_\Sigma f\,dS$$\Sigma:z=z(x,y)\ \Rightarrow\ \iint_{D_{xy}} f(x,y,z)\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy$
第二类（对坐标/流量）$\iint_\Sigma P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy$与侧向（法向量定向）有关，按投影正负代入
$$ \oiint_\Sigma P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint_\Omega\Big(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\Big)dV=\iiint_\Omega \mathrm{div}\,\mathbf F\;dV $$
$$ \oint_\Gamma P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\iint_\Sigma \Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Big)dy\,dz+\Big(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Big)dz\,dx+\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dx\,dy $$

三条线：格林（平面）、高斯（闭曲面→三重积分）、斯托克斯（闭曲线→曲面积分），本质都是牛顿–莱布尼茨公式的高维推广。

§10无穷级数

10.1 数项级数

级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛 ⇔ 部分和 $S_n$ 收敛。必要条件：收敛 ⇒ $a_n\to0$（逆否用于判发散）。性质：收敛级数线性运算仍收敛；去掉或添加有限项不改变收敛性；收敛级数可任意加括号。

正项级数判别法（$a_n\ge0$）

方法条件结论
比较判别法（极限式）$\lim a_n/b_n=c\in(0,+\infty)$同敛散（常与 $\sum\tfrac1{n^p}$ 比较）
达朗贝尔比值法$\lim a_{n+1}/a_n=\rho$$\rho<1$ 收敛，$\rho>1$ 发散，$\rho=1$ 失效
柯西根值法$\lim\sqrt[n]{a_n}=\rho$同上（适用于含 $n$ 次幂项）
积分判别法$f$ 正减连续，$a_n=f(n)$$\sum a_n$ 与 $\int_1^{\infty}f$ 同敛散

参照级数：几何级数 $\sum q^n$：$|q|<1$ 收敛；$p$-级数 $\sum\tfrac1{n^p}$：$p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散；$\sum\tfrac{1}{n(\ln n)^p}$ 同 $p$ 规则。

交错级数与莱布尼茨判别法

若 $a_n\ge0$ 单调递减趋于 0，则交错级数 $\sum(-1)^{n-1}a_n$ 收敛，余项 $|R_n|\le a_{n+1}$，符号与首项相同。

任意项级数：$\sum|a_n|$ 收敛 ⇒ 绝对收敛；自身收敛而绝对值发散为条件收敛（例：$\sum(-1)^{n-1}\tfrac1n=\ln2$ 条件收敛）。

10.2 幂级数

收敛半径与阿贝尔定理

对 $\sum a_n x^n$，若 $\lim\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|=\rho$，收敛半径 $R=1/\rho$（$\rho=0$ 时 $R=+\infty$；$\rho=\infty$ 时 $R=0$）。端点 $x=\pm R$ 单独判断。幂级数在收敛区间内绝对收敛、内闭一致收敛。

$$ \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}\ (|x|<1);\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x);\qquad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x $$

求和函数三步：① 求收敛域；② 逐项求导 / 逐项积分化为已知级数；③ 解出和函数并验算端点。展开函数反向操作：利用已知展开 + 换元、求导、积分、四则运算。

$$ \text{欧拉公式：}\ e^{ix}=\cos x+i\sin x $$

10.3 傅里叶级数（概念）

周期 $2\pi$ 的 $f$ 形式上展开为

$$ f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big) $$
$$ a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx $$

狄利克雷收敛定理：分段单调且仅有有限个第一类间断点的周期函数，其傅里叶级数在连续点收敛于 $f(x)$，在间断点收敛于左右极限的算术平均 $\tfrac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$。

更多傅立叶级数的问题（吉布斯现象、奇偶延拓、半幅展开、Parseval 恒等式、频谱等）可在下方「§15 AI 学习助手」中用文字或语音提问。

§11常微分方程

术语：方程中含未知函数导数的最高阶数为阶；含任意常数的解为通解；定出常数后为特解；初值问题给出 $y(x_0)=y_0$ 等条件。

11.1 一阶方程的解法体系

类型标准形式解法
可分离变量$y'=g(x)h(y)$$\int\tfrac{dy}{h(y)}=\int g(x)dx$
齐次方程$y'=\varphi(y/x)$令 $u=y/x$，化为 $u$ 的可分离方程
一阶线性$y'+P(x)y=Q(x)$$y=e^{-\int Pdx}\Big[\int Qe^{\int Pdx}dx+C\Big]$
伯努利$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}$令 $z=y^{1-n}$，化为一阶线性
全微分方程$M\,dx+N\,dy=0,\ M_y=N_x$求 $u$ 使 $du=Mdx+Ndy$，通解 $u=C$
非全微分$M_y\neq N_x$找积分因子 $\mu$ 化为全微分

11.2 可降阶的高阶方程

  • $y^{(n)}=f(x)$：逐次积分 $n$ 次；
  • $y''=f(x,y')$（不含 $y$）：令 $p=y'$，降为 $p$ 的一阶方程；
  • $y''=f(y,y')$（不含 $x$）：令 $p=y'$，利用 $y''=p\tfrac{dp}{dy}$ 降阶。

11.3 二阶常系数线性方程

$$ y''+p\,y'+q\,y=f(x) $$

齐次解：特征方程 $r^2+pr+q=0$ 按根分类：

特征根通解 $y_h$
两个不等实根 $r_1\neq r_2$$C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
重根 $r_1=r_2=r$$(C_1+C_2x)e^{rx}$
共轭复根 $\alpha\pm i\beta$$e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\big)$

非齐次特解 $y^*$ 的设定（待定系数法）

$f(x)$特解形式
$e^{\lambda x}P_m(x)$$x^{k}e^{\lambda x}Q_m(x)$，$k=\lambda$ 作为特征根的重数（0/1/2）
$e^{\alpha x}\big[P_l\cos\beta x+Q_m\sin\beta x\big]$$x^k e^{\alpha x}\big[R_n\cos\beta x+S_n\sin\beta x\big]$，$n=\max(l,m)$，$k$ 视 $\alpha+i\beta$ 是否为特征根取 0/1

叠加原理：$f=f_1+f_2$ 时 $y^*=y_1^*+y_2^*$。通解 = 齐次通解 + 一个特解。欧拉方程 $x^2y''+pxy'+qy=f(x)$ 用代换 $x=e^t$ 化常系数。

§12公式速查与常见结论

12.1 常用极限与级数和

对象结论
极限$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$；$\lim\limits_{n\to\infty}\tfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\tfrac1e$；$\lim\limits_{n\to\infty}n\sin\tfrac1n=1$；$\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$；$\lim\limits_{x\to0}x^{x}=1$
常用和$\sum_{1}^{n}k=\tfrac{n(n+1)}{2}$；$\sum k^2=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$；$\sum k^3=\big[\tfrac{n(n+1)}{2}\big]^2$
著名级数$\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}$；$\sum(-1)^{n-1}\tfrac1n=\ln2$；$\sum(-1)^{n}\tfrac1{2n+1}=\tfrac{\pi}{4}$

12.2 对称性与快捷计算

  • 奇函数在对称区间积分为 0，偶函数取半区间乘 2（定积分、重积分均适用）；
  • 周期函数任何长度为一个周期的区间上积分相等；
  • 华里士公式（见 §5）；$\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$（高斯积分）；
  • 欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$，用于 $e^{ax}\sin bx$ 型积分的快速计算（取虚部）。

12.3 易错点清单

  1. 极限存在才能拆项；等价无穷小仅限乘除因子；
  2. 洛必达每次使用前重新检查未定式类型；
  3. 分段函数分界点的导数必须用定义求，不能直接代导函数；
  4. 换元积分必换限（定积分）或回代（不定积分）；
  5. 极坐标、柱坐标、球坐标的雅可比因子 $r$、$r$、$\rho^2\sin\varphi$ 不能丢；
  6. 第二类曲线/曲面积分与方向（侧向）有关；
  7. 交错级数收敛不等于绝对收敛；条件收敛级数不能随意重排；
  8. 二阶非齐次方程先写特征方程解 $y_h$，特解中的 $k$ 取决于 $\lambda$ 是否为特征根。

§13交互演示

演示一 · 导数即切线斜率

函数 $f(x)=\tfrac{x^2}{8}-2$（黑线）。拖动滑块改变切点 $a$，蓝线为切线 $y=f(a)+f'(a)(x-a)$，斜率 $f'(a)=\tfrac{a}{4}$。

演示二 · 定积分 = 矩形求和的极限

以 $f(x)=x^2$ 在 $[0,2]$ 上的积分（精确值 $\tfrac83\approx2.6667$）展示三种取点规则的黎曼和随分割数 $n$ 收敛。

演示三 · 图形计算器（支持无穷级数与复合函数）

支持：$+ - × ÷ ^$ 与括号；函数 sin cos tan asin acos atan sinh cosh tanh sqrt cbrt abs ln log exp min max pow； 常量 pi、e、inf；阶乘 $n!$；求和 sum(变量, 起点, 终点, 表达式)，终点可用 inf（自动截断至 N=2000 数值近似）。 复合函数可直接嵌套书写，如 $sin(cos(x))$、$e^{-x^2}$、$\ln(x^2+1)$。拖拽平移、滚轮或双指缩放；乘号须写 $*$。

x² sin x 1/x √x sin(cos x) cos(x²) e^(−x²) ln(x²+1) √sin x sin(1/x) x·sin(1/x) |sin x| 1/(1+x²) eˣ ≈ Σxⁿ/n! sin ≈ Σ cos ≈ Σ ln(1+x) ≈ Σ Σ 1/n²
f(x) = sin(cos(x))

§14自测练习

单选，答毕点击“交卷”查看得分与解析。

Q1. $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{2x}$ 等于
$\lim\limits_{x\to0}\tfrac{\sin3x}{3x}=1$，故原式 $=\tfrac32$。
Q2. $f(x)=|x-1|$ 在 $x=1$ 处
左右导数分别为 −1 与 +1，故不可导；$|x-1|$ 连续。
Q3. 罗尔定理的三个条件中，可删去的是
三个条件缺一不可，均为该充分条件的组成部分。
Q4. $\int xe^{x}dx=$
分部积分：$\int x\,de^x=xe^x-e^x+C$。
Q5. $\int_{-2}^{2}(x^3+\cos x)\,dx=$
$x^3$ 为奇函数积分为 0；原式 $=2\int_0^2\cos x\,dx=2\sin2$。
Q6. 反常积分 $\int_1^{\infty}\dfrac{dx}{x^{p}}$ 收敛的充要条件是
$p$-积分：$p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散。
Q7. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\tfrac1n$ 的敛散性是
交错级数收敛（莱布尼茨），但 $\sum\tfrac1n$ 发散，故条件收敛。
Q8. 方程 $y''-2y'+y=0$ 的通解为
特征方程 $(r-1)^2=0$ 有重根 $r=1$，通解 $(C_1+C_2x)e^x$。

§15AI 学习助手 · 傅立叶级数

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